Summen af de første \(n\) tal
Forneden giver vi et argument for at summen af de første \(n\) tal kan beregnes ved
$$\sum_{k=1}^n k = 1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n=\frac{n(n+1)}{2}$$
Bevis
Vi lader \(S\) betegne summen af de første \(n\) tal
$$S=1+2+3+\cdots+(n-2)+(n-1)+n$$
Bemærk at vi også kan skrive \(S\) op, blot hvor summen er skrevet i den omvendte rækkefølge
$$S=n+(n-1)+(n-2)+\cdots+3+2+1$$
Derfor må
$$2S=(n+1)+((n-1)+2)+((n-2)+3)+\cdots (3+(n-2))+(2+(n-1))+(1+n)$$
Hvert af disse led reduceres til \(n+1\), og da der er \(n\) led i alt, bliver
$$2S=n(n+1)$$
Derfor er
$$S=\frac{n(n+1)}{2}$$